LA FÓRMULA DE LA BATA

Seguro que muchos de vosotros ya os habéis fijado que algunos profes de mates llevamos escrita una fórmula en nuestras batas:

Pero, ¿Por qué esa fórmula y no otra? Podíamos haber elegido el Teorema de Pitágoras, que es probablemente la fórmula matemática más famosa, o la Relación Fundamental de la Trigonometría (y así de paso os serviría de “ayuda” en los exámenes…) En cambio hemos elegido la FÓRMULA DE EULER, la que sin lugar a dudas es la FÓRMULA MÁS BONITA DEL MUNDO, sí, habéis leído bien, hemos dicho BONITA y no, no nos hemos vuelto locos.

Al igual que admiramos la belleza de “Las Meninas” de Velázquez , “El Beso” de Gustav Klimt o “La Piedad” de Miguel Ángel,también hay  fórmulas que tienen esa capacidad de transmitir armonía, elegancia y belleza a aquel que sepa apreciarlo.

                             

Y es que, en la fórmula de Euler aparecen, de la forma más simple y sencilla, los cinco números  más importantes de la Historia de las matemáticas: 0, 1, π, i y e.

El número 0

Aunque hoy en día vemos el 0 como un número fundamental en el engranaje de las matemáticas, no siempre ha estado presente. En la antigüedad (allá por el año 10000 a.C.) las antiguas civilizaciones el único concepto de número que tenían era “mucho” o “poco”, hasta que sintieron la necesidad de contar aquello que poseían y así comenzaron a contar: 1, 2, 3… empleando para ello los dedos de las manos (por eso nuestro sistema de numeración es decimal).

Así se construyó, de forma aditiva, la sucesión de los números naturales. Pero en aquella época, nadie sentía la necesidad de contar “la nada” por eso ni la civilización egipcia, ni la griega, que destacaron por sus amplios conocimientos de aritmética, geometría y astronomía, nunca introdujeron el símbolo del cero.

Fueron los calculistas indios los que dieron por primera vez una definición del Cero: El resultado de sustraer cualquier número de sí mismo y le denominaron “shunya” que significa vacío.

Pero, ¿Por qué es tan importante el 0? El 0 es el único número que no es ni positivo ni negativo, además tiene unas reglas propias ya que es el único número que si lo colocas a la izquierda de otro, no modifica su valor.

¿y qué ocurre con las operaciones aritméticas? Si a un número cualquiera le sumas o restas 0 se queda igual, si le multiplicas por 0 se anula, ¿y si lo divides entre 0? Entonces es mucho más curioso aún ya que se convierte ¡en infinito! ¿y si a 0 lo divides entre 0? Entonces llegamos a lo que en matemáticas se denomina INDETERMINACIÓN.

 

El número 1

El número es la esencia de todas las cosas decía Pitágoras y la esencia de nuestro sistema numérico es el 1. Él es el primer número de los Naturales y la base sobre la que se construyen, ya que cada número natural proviene de sumar 1 unidad al anterior.

El 1 es el elemento neutro del producto y el único número natural que no es ni primo ni compuesto, ya que, en el conjunto de los naturales, un número es primo si tiene dos divisores, el 1 y él mismo, y es compuesto si tiene más de dos divisores y como el 1 sólo es divisible por él mismo, no se ajusta a ninguna de las dos definiciones, siendo así un número especial, ni primo, ni compuesto.

 

El número π

Pero si hay un número que ha fascinado a científicos de todas las épocas, ese es π.

La definición nos dice que π es el número que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro y lo encontramos por primera vez en el Papiro Rhind (1650 a.C.) y en el Papiro de Moscú (1850 a.C.) que aproximaban su valor a 3.16049.

En la actualidad, gracias a los ordenadores, conocemos más de 10 billones de cifras de π. Pero lo más curioso de este número son sus propiedades, en primer lugar es un número irracional, es decir, posee infinitas cifras decimales no periódicas, por lo que no puede ser expresado en forma de fracción. También es un número trascendente ya que no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales. Además aparece en la solución de numerosas series y multiplicaciones infinitas y es fundamental en el estudio de los números complejos.

 

El número i

René Descartes decidió denominar i  a la raíz cuadrada de -1¡PERO ESO ES IMPOSIBLE! No existe la raíz cuadrada de los números negativos -diréis algunos- por eso le llamó número imaginario. A partir de este número se ha creado el conjunto de los números complejos, con sus reglas de operación y sus propiedades definidas al igual que el resto de conjuntos numéricos. Este número, que puede parecer un “invento” del hombre, tiene gran importancia en Física, en electromagnetismo, ondas radioactivas, trayectorias espaciales, aerodinámica…

 

El número e

El número e  debe su nombre a uno de los matemáticos más importantes de la historia, Leonard Euler, y es el resultado del siguiente límite:  A medida que crece el valor de n, la sucesión va aumentando su valor, sin embargo, cuánto mayor es el valor de n más despacio crece. El límite de dicha sucesión es e = 2,718281828459….

Pero, ¿Qué tiene de interesante esta sucesión para querer hallar con tanta precisión su límite? Pues es ni más ni menos que la ley de crecimiento, es decir, la ley por la que se rigen el crecimiento de las bacterias, el crecimiento de un capital con un interés compuesto, el crecimiento de los habitantes de una población… cualquier magnitud susceptible de multiplicarse a un ritmo constante cada cierto tiempo. Además éste número e, al igual que π  es irracional y trascendente.

 

Por eso nos fascina tanto una fórmula que de forma simple y sencilla es capaz de unir a estos 5 magníficos números, pero por lo visto, la FÓRMULA DE EULER no nos gusta sólo a los matemáticos, también hay algún “graffitero” que ha apreciado su elegancia y así lo ha plasmado en una pared de San Lorenzo de El Escorial.

A lo mejor lo que no sabe el grafittero de San Lorenzo es porqué en esa fórmula hay un más en vez de un menos, y es que esta expresión es un caso particular de la fórmula general de Euler:

 Y seguro que tampoco sabe que fue en el año 1707 cuando el matemático francés Abraham De Moivre demostró a partir de esta igualdad la conocida como Fórmula de Moivre:

pero no vamos a profundizar más en este post, ya que se ve que el tema empieza a complicarse.

Ahora ya sabéis que la fórmula más bella de la historia de las Matemáticas es la “Fórmula de la bata”

Matemáticas, fútbol y ecuaciones tercer grado

Seguro que con este título todos estaréis pensando en el típico post en el que hablaremos sobre las distintas aplicaciones de las matemáticas en el mundo del fútbol. Por ejemplo, podríamos debatir qué tipo de cuerpo geométrico es un balón de fútbol (si te fijas en un balón de fútbol, observarás que no es una esfera sino un poliedro que, al ser hinchado con aire, adopta una forma bastante esférica. Se trata del icosaedro truncado, un poliedro así llamado por ser el que se obtiene cuando a un icosaedro le cortamos las 20 esquinas a distancias iguales de cada vértice. Está formado por 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares y tiene 90 aristas. Este poliedro ocupa un volumen del 86,74% de la esfera circunscrita, porcentaje que aumenta hasta el 95% al ser inflado). Esto lo dejaremos para otro día…

Actualmente, los enfrentamientos más encarnizados entre amigos, familias o ciudades se producen por la rivalidad existente entre diferentes equipos de fútbol. Así, todos estamos acostumbrados al revuelo social originado la semana anterior y posterior a un Real Madrid vs FC Barcelona… Esto no ha sido así siempre… En el siglo XVI los enfrentamientos sociales más relevantes se producían en torno a las universidades y sus profesores.

En la actualidad cualquier científico trata de publicar los resultados de su investigación inmediatamente. La máxima “publica o sucumbe” rige la vida académica de las universidades actuales. Pero las universidades del siglo XVI eran distintas y también los profesores que en ellas trabajaban eran distintos de los actuales. Cualquiera podía ser desafiado a una disputa pública. El adversario proponía preguntas y problemas, y de manera pública, se llevaba a cabo un debate y, como en todo debate, después se declaraba vencedor a uno de los contrincantes. Muchas veces había una apuesta de por medio. Podían jugarse un premio más o menos simbólico. Incluso a veces se ponía en juego la cátedra en la universidad o la posibilidad de conseguirla en el futuro. En todo caso, había algo que siempre entraba en juego en este tipo de debates, el prestigio personal de los contrincantes, su reputación de sabios. Las disputas académicas y no académicas eran frecuentes y a veces dos colectivos más o menos numerosos actuaban como hinchas. Toda la ciudad opinaba y, de alguna manera, apostaba por uno u otro rival. En estas circunstancias, ser poseedor de un conocimiento misterioso y exclusivo podía ser muy conveniente. Bastaba poner problemas al rival que no supiera resolver por no conocer la fórmula y, a la vez, confiar en que las preguntas del rival fueran asequibles. Esa era una buena estrategia para salir airoso, si es que no victorioso, de esas situaciones. Era como lastrar la balanza de antemano en el propio favor. Una especie de seguro ante la adversidad. Claro está que eso imposibilitaba difundir los conocimientos propios y con ello se perdía la fama y el mérito de ser su descubridor. También impedía enseñárselos a los alumnos. Es posible incluso que algunos descubrimientos se hayan ido, por este motivo, a la tumba con sus descubridores. Pero esto nunca lo sabremos…

Algo así ocurrió en la Italia renacentista del siglo XVI a tres notables matemáticos conocidos como Del Ferro, Del Fiore y Tartaglia, que trabajaban arduamente en busca de encontrar un método práctico para resolver una ecuación matemática, conocida como de tercer grado. Desde la época de los babilonios, 2500 a.d.C, cuando estos ya conocían  la solución de  las ecuaciones de segundo grado, (para aplicarlo a sus construcciones) y hasta esa fecha no hubo avances significativos con respecto a este tema.

Sería Scipione del Ferro, hijo de un imprentero de Bolonia, el primero en estudiar con un método ortodoxo, la obtención de las raíces (soluciones) de estas funciones matemáticas.  La fórmula de Del Ferro es la misma que se sigue utilizando hoy día. No nos ha llegado ninguna información sobre cómo lo logró. Por no saber, ni siquiera se sabe a ciencia cierta el año de tal descubrimiento, que sin embargo, quizás sea el más importante de las matemáticas del siglo XVI. Las pocas referencias disponibles son además indirectas. Según a quién hagamos caso, el año del descubrimiento pudo ser 1505 o 1515. De cualquier manera, de lo que no hay duda es de que fue él, Scipione del Ferro, el primer descubridor. Pero, y ésta no será la única cosa extraña de esta historia, Scipione del Ferro no contó a nadie su solución. Para ser exactos, a casi nadie, ya que, poco antes de morir, compartió su descubrimiento con uno de sus alumnos, el veneciano, Antonio María del Fiore. En todo caso Del Fiore obtuvo la fórmula de su maestro, aunque es dudoso que llegase a entenderla del todo o, al menos, hay razones para pensar que no sabía bien cómo aplicarla para resolver problemas concretos. Toda la historia narrada hasta aquí sucedió en Bolonia, la sabia, la ciudad más docta de la Italia de aquella época. La narración se traslada ahora a Venecia, la ciudad comercial por excelencia. A ella se había trasladado Niccolò Tartaglia en 1534, desde la ciudad de Brescia donde había nacido. De Venecia era Antonio María del Fiore, que tras sus estudios en Bolonia, había regresado a su ciudad natal. Y aquí coincidieron ambos personajes. Tartaglia daba clases de aritmética en la escuela de ábaco de la iglesia de San Zanipolo. Del Fiore no se sabe exactamente a que se dedicaba en esos momentos. Lo que sí sabemos es que se vanagloriaba de haber recibido la fórmula maravillosa 30 años antes de “un gran matemático”, en referencia segura, como sabemos, a Del Ferro. Surgió el debate y se planteó la disputa. Cada uno de los contrincantes planteó al otro treinta problemas. Los de Tartaglia abordaban una variedad de temas aritméticos, geométricos y algebraicos. Los de Del Ferro correspondían todos al mismo patrón: ecuaciones de tercer grado sin término de segundo grado. La apuesta fue la siguiente: el vencedor pagaría al perdedor y a sus amigos una comida. Podrían acudir tantos amigos como problemas hubiera resuelto el ganador. Es decir, si los resolvía todos, la comida sería para treinta comensales. Del Fiore perdió estrepitosamente. No fue capaz de resolver ni uno sólo de los problemas de Tartaglia. Ni tan siquiera uno que entrañaba la resolución de una ecuación de tercer grado, para la que Tartaglia conocía un método particular. A partir del momento del debate, la vida y la persona de Antonio María del Fiore se pierden en la oscuridad. La fama de Niccolo Tartaglia, se vio sin embargo acrecentada.Más tarde entró en juego la figura de Jerónimo Cardano intentando hacer suya la victoria de la resolución de la ecuación de tercer grado, pero eso lo dejamos para otra ocasión…

A través de las biografías de los grandes matemáticos se reflejan historias de tristes disputas, y muestran la pasión que dominaba a  estos genios de los números, que muchas veces viviendo en un ámbito de miserias humanas y materiales, no se dejaban vencer por la adversidad, y siempre se esforzaban para llegar a conocer la verdad de estos dificultosos problemas.

Volvamos al principio… ¿Os imagináis la semana anterior y posterior al duelo Tartaglia vs Del Fiore, en pos de una fórmula para la resolución de la ecuación de tercer grado…? Debía ser muy parecido a un Real Madrid vs FC. Barcelona… ¡Cómo ha cambiado la historia!